Triangle équilatéral - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(1+i)\) et \(\text B(3+4i)\) .  Déterminer les affixes  \(z_\text C\) du ou des points  \(\text C\) , si elles existent, telles que le triangle \(\text A\text B\text C\) soit équilatéral.

Solution

Le triangle \(\text A\text B\text C\) est équilatérale si et seulement si   \(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \text e^{\frac{i \pi}{3}}\) ou  \(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \text e^{\frac{-i \pi}{3}}\) .
Or, \(\frac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \text e^{\frac{i \pi}{3}}\iff z_\text C - z_\text A = \text e^{\frac{i \pi}{3}} (z_\text B - z_\text A)\iff z_\text C = z_\text A + \text e^{\frac{i \pi}{3}} (z_\text B - z_\text A)\) .
De même, \(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \text e^{\frac{-i \pi}{3}}\iff z_\text C = z_\text A + \text e^{\frac{-i \pi}{3}} (z_\text B - z_\text A)\)  et  \(z_\text B - z_\text A = 2+3i\)  
donc  \(z_\text A + \text e^{\frac{i \pi}{3}} (z_\text B - z_\text A)= 1+i + \left( \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) (2+3i)= 1+i + 1 + \dfrac{3}{2}i + \sqrt{3} i - \dfrac{3}{2} \sqrt{3}= 2 - \dfrac{3}{2} \sqrt{3} + i\left( \dfrac{5}{2} + \sqrt{3} \right)\)
On a de même  \(z_\text A + \text e^{\frac{-i \pi}{3}} (z_\text B - z_\text A)= 2 + \dfrac{3}{2} \sqrt{3} + i\left( \dfrac{5}{2} - \sqrt{3} \right)\) .

Donc \(z_\text C = 2 - \dfrac{3}{2} \sqrt{3} + i\left( \dfrac{5}{2} + \sqrt{3} \right)\) ou \(z_\text C = 2 + \dfrac{3}{2} \sqrt{3} + i\left( \dfrac{5}{2} - \sqrt{3} \right)\) .